圆的标准方程

大家好，今天我要讲的是圆的方程还有位置关系，主要是直线和圆的位置关系，还有两个圆之间的位置关系。 然后咱们来看一下这节课主要分以下这三个内容吧，主要是分成什么呢？一个是圆的方程，分成圆的标准方程和一般方程。另外这个点的点和圆的位置关系，其实在初中你就知道了，所以说我比较简单，这一点我就放到这个第一大部分了。 另外两点是直线跟圆的位置关系，还有两个圆之间的位置关系。然后咱直接来看吧。第一个非常重要的是圆的方程，这个标红的部分你当然要记住了， 那这个圆的方程是怎么推出来的？圆的定义啊，主要分两点，一个是圆心，圆心决定的是圆的位置吧，半径决定的是圆的大小。然后在高中对于圆的定义是轨迹出来的啊，到定 定点，那定点就其实就是那个圆形到定点的距离等于定长，那么这样的动点的轨迹他呢就是圆了，这个是用轨迹来定义的， 那么为什么会产生这样一个效果呢？我画一个图你其实就知道了，这个是圆心点 c， 然后这个是重点点 p， 我们求哪个点的坐标啊，就把哪个点坐标假设为 xy， 因为 xy 是变量吗？ 那此时比如说圆心的坐标，他是 a 多少 b， 根据两点之间的距离公式，那很快就是多少，就是 x 减去 a 的平方，加上 y 减 b， 从左边减啊，然后等于二，那左右两边平方之后，这个圆的标准方程不就出来了吗？所以一定要记清楚了啊。 红色部分呢，就是圆的标准方程，一定要记住右边这个 r 方大于零就可以了。那继续来看一种特殊的情况，如果你这个圆心是零的号零就是在圆点的话， 那好说啊，你把这个 a 的号 b 就是圆形坐标改成零的号零，那 x 减零不就是 x 方加 y 方等于 r 方吗？这个是非常好理解的。 那么下边有几个需要注意的地方啊，我们先来看注意的。第一点啊，高中对于圆的定义是这么说的，平面那道一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，刚才已经说过了，根据的是两点之间的距离公式推出来的，这很简单。 嗯，然后第二点的话，我想说的是，他很多时候他等号右边，大家不要看这个 r， 这个 r 他可以表示半径，也可以表示就某一个长数吗？如果他表示数字的时候，我们右边这个 t 看成什么？看成一个整体就行了， r 方其实 t 就是那个 r 方， 你想当这个 t 大于零的时候，那半径肯定就是大于零的呀，那此时根号下 t 也就是 t 的算数，平方根他就是这个半径了。如果 t 等于零的话，他表示什么？如果 t 表示零的话，他其实表示的是什么意思呢？表示 的是 pc 两点之间的距离是零，那此时他只能表示一个点了，是不是？也就是说点 p 和点 c 是重合的？第三点的话就是等号右边，你想 我平方加上平方等于一个负数，这个怎么可能呢？按理说你应该是大于等于零，我等于一个负数，那就表示无论 x y 怎么取，在时速范围内，这个方程都是不成立的，所以说他表示不了任何图形。 那好了，来看第二个，第二个方程也很重要。第二个方程的话，他看起来不直观，但是有些时候很好用，尤其是带领技术把球员的方程的时候。比如说我随便来一个，比如说元过哪三个点呢？一的话一 二逗号，负三还有多少呢？还有一个六逗号四吧，随便写了几个点啊，这三个点，你待会以后把第一 f 求出来不贡献的三个点确定一个圆吗？那用待定系数法求圆的方程的时候，可能是用这样一个 一般方程更合适的。那这个一般方程的话，我们需要注意哪一点呢？ d、 f 不是随便取的， 比如说我如果随便取了一下，任 d 等于零，然后 e 也等于零，但是这个 f 是等于一的，那此时就变成了 x 方加 y 方，等于再加上一等于零，你把正一移过去，就变成了负一，这样的圆存在吗？这样的圆显然是不存在，也就是说你这个 d、 f 啊，这三个系数看来还不能随便取。 继续满足什么条件的时候，这样一个红色的方程才能表示圆的。一般是方程呢？那么必须满足 d 方加一方减去四 f 方才能满足是圆的方程。 为什么会产生这样的后果呢？咱一会再说。我们在正式讲解之前的话，你想一想啊，他这个形式上看准了 x 方和 y 方，他的系数得相等，那一般我们都把它化简化，简称一的形式啊，他的系 都是一。然后第二点的话，形式上啊，他虽然是关于 x 和 y 的，这个叫几元几次方程？二元二次方程，但是 标准的二选二次方程，它是含有这样 x 乘外的交叉项的，这是一个二次项，但是你想他这个方程里头有吗？没有 x 外乘这样的交叉项，或者说 xy 他前头的系数是零都可以。 然后只要你写出来了这样的方程，他表示圆的时候啊，满足这个第一方加一方减四 f 大于零。那么我们直接可以下结论，他呢，他圆心是多少？就是负的二分之低，负的二分之一，这就是圆心。然后这个半径呢？半径就是二分之刚好。你看 他只有背开方数大于零的时候才能表示半径吧，你等于零的时候，半径等于零，他就不表示圆，表示一个点了。那背开方数第一方加一方，然后减去四 l 方小于零，小于零的时候是没有意义的，你这样的圆就不存在了。 那为什么会产生这样的效果呢？我们来思考一下。看好了啊，我们其实只需要把这样的一般式化成标准式就可以了，就是一般方程化成标准方程，至于这样的标准方程，后边画前面，你去掉括号就行。这个太简单了，我就不写了，你自己画一下。我们主要是考虑怎样由一般方程画成这样的标准方程，怎么画呢？ 配方分布，配方中间呢？省略了很多过程，我把这个最重要的过程给你写一下， x 方加上 dx， 然后再加上外方，加上意外，然后呢，你把 f 啊移到右边去，就变成了负 f 了， 这个是很容易说的，你想左边要平方，左边配方的话，你需要干嘛呀？需要加一半，比如说我如果写的是 x 方加二， x 都知道加一，那这个一是怎么出来？其实就是一半的平方的意思，这个 d 的一半其实 就是二分之地，然后再平方就是四分之地方，同理后边他呢，应该是加个四分之一方，你不能光让人家左边加，你右边也得加相同的吧，再加上四分之地方加一方，这样才能配齐了。 那整理之后的话，大家看第一个括号是不是就是 x 加二分之一的平方，第二个括号就是 y 加上二分之一的平方，然后右边通分一下，就变成这样的形式了 好吗？也就是说，如果你想把这样的一般方程画成标准方程的话，需要经过怎样的步骤？最重要的就是这样一个配方配方就行了啊， x 配一下，外配一下， 配方完成之后的话，我们跟谁比较一下呢？其实就是跟这样的标准方程比较一下，你看负 a 等于正的二分之 d 啊，你标准方程里头，我当然可以直接看出来他的圆形坐标就是 a 多少 b， 然后他的半径就是 r， 或者是小 儿子绝对值啊，然后他后边呢？对比一下。所以说如果我写的是这样的一般方程的话，那我的这个圆心应该写的注意，正符号负的二分之 d， 负的二分之一，那他这个半径呢？半径右边这个整体其实就是 r 方， 那我开一下平方不就变成了等于什么二分之根号下注意要干嘛了啊？腰带绝对要带这样的根号了啊，根号下 d 方加一方减四 l 方，包括另一点问题也处理了，你想啊，平方加平方，你应该是严格的大于零才能表示圆吧，等于零的话，表示一个点， 那你既然大于零的话，其实表示着只有当什么只有当地方加一方，然后减四 f 大于零的时候才能够表示圆，就是这样的方程，一般是方程才能够表示圆，其他情况是不能够表示圆的。那好，现在你应该清楚刚 猜我们那些结论是怎么来的了吧。那好了，刚才我们也讨论完了，当这个地方加一方减十二方大于零，首他就是表示员啊，我已经写出来了， 如果他等于零的话，他就只有一个结，你等于零的话，你看右边，如果他正好就是一个零的话，那必须 x 只能是负二分之 d 了。非负数加非负数，那每一个部分都必须只能等于零，那 x 只能是负二分之 d， 然后这个外置呢？是负二分之一，他就只能表示一个点，不能表示圆， 那如果小于零呢？平方加平方，按理说的大于等于零，你直接来了一个平方加上平方等于一个负数，也就是说小于零，怎么可能有这样的解呢，对不对？所以说第三种情况他是无解的。嗯， 来看啊，咱们看一下第三个点和圆的位置关系。这个太简单了，你画一个图不就都知道了吗？咱们看一下图啊，当这个这 圆心的话，我标成什么呢？标成这样的 a 点吧， a 点啊，然后 m 点如果在外部的话，那不就是 m a 的距离大于什么？ m a 距离的平方大于 r 的平方，这个就表示什么呢？表示这个点在外部，那等于的话，就是这个点在圆上，那小于 r 方，不就是点在什么，点在圆内的意思吗？所以说第一点是很好理解的。 至于说后边这三点的话，你类比一下自己配方一下也能够画成什么？我已经把配方的过程写过了，也能够画出来的，这个还是很好理解的。我们接下来做几道题，来练一下 这个第一题怎么说？第一题的话，我想说的是他求圆的方程，现在我们学了两种，一种是根据几和意上的标准方程，还有一个是一般方程，你用哪个？这个题的话用标准方程，为什么要用这个标准方程呢？很简单，因为我可以快速求出圆进来。 首先 ab， 他的终点是多少啊？他的终点坐标我们可以求一下啊。 ab 的终点， 终点其实就是那个圆心，然后二分之二分之二，那就是一，然后二分之负五，加上负一，那就是负三呗。 所以说你看终点就出来了，终点出来以后，你还得知道什么圆心，知道了那半径，也得知道半径，实际上他是等于二分之 ab， ab 是直径的，半径不就是他的一半啊？你自己求一下就行了，我们很快就可以求出这个结果来。 这个半径求出来以后的话，实际上就是根号加二十九，你自己求一下啊，所以说你看一一多少负三，这不就是一负三，这是圆心然后半径吗？根号加二十九就求完了， 咱看第二点啊，第二点的话，这个看起来麻，看起来麻烦，能有多麻烦？你把 t 看成是一个参数，参数是什么？就是他是一个数字，但这个数字在变，我们求一下 在这个数字的范围，这个负二倍的括号，其实就是这个一般方式里头的二倍的括号呢，就是一 十六 t 四次方加上九呢，就是 f， 你看 d f 出来了，那什么时候表示圆呀？那必须是 d 方加 e 方减四， f 大于零的时候才表示圆。所以接下来我们其实是需要求一下什么的，需要求一下这样的， d 方加 e 方， d 方 加一方减去四 f 方，他的话其实就是四倍的 t 加三或者的平方。我就直接写了啊，加上四倍的一减四 t 的平方啊，然后外头还有个平方，再减去四 f， 那不就是减去四倍的十六 t 的四次方加九吗？ 别怀疑啊，这个剃的四次方后边有个负的六十四，前头呢，他还有一个正的六十四剃的四次方，所以剃四次方最后是消掉的。我们经过整理之后呢，很容易化成这样 形式，负 t 七的平方再加六， t 再加一大于零，只有大于零的时候他才能表示圆，其他情况都不是圆。 那接下来怎么办？我们要求的是 t 的范围，对吧？当 t 怎么样的时候，他表示，那好说呀，他不就相当于这样一个不等式，大于零相当于七 t 方减六， t 减一小于零吗？这个音是分解一下，用十字交叉法，这个太简单了，我就直接写了 t 七 t 加一，然后 t 减去一小于零，所以很简单。所以 t 的范围是什么范围才能表示圆呀？这个不等式求出来的解集，也就是负七分之一到一之间，只有这种情况下才能表示圆，其他情况是不能表示圆的。我把答案呢给大家显示一下， 确实是这样啊，当表示员的时候，我顺便把这个圆心还有半径都求出来了，然后后边呢，当这个不在这个范围内的时候呢，他就不能表示 出圆了，这个记住这样一个结果，关键还是要记住圆的条件来看这个括号三，这个括号三的话，你看他说啊，经过两个点，经过两个点的话，咱可以画一下这个 ab 啊，这个外周 x 周我就不画了啊，这个是负一多号四，这 a 点大概在这个位置，三的话，二的话，那就是在 b 点，在这了， 然后他说呢，既过 a b， 然后这个圆，他的圆心呢？又在什么？又在外轴上，这个题怎么办呢？大家可以看一下，比如说我们假设这个圆呢，我们假设为圆意，也就是说一点是圆心啊， 那此时你原上，你想啊，原上你任何一任何两个点，你此时 e a 怎么样？ ea 肯定是等于 eb 的，到任何一个点都相等，那既然这样半径相等的话， ea 等于 eb， 那 ea 等于 eb， 所以点 e 在 ab 中垂线上，对不对啊？ ab 的中垂线，所以有了这一点以后，有朋友就要说了，说我直接连接 ab， 求 ab 的中垂线 l 解析式， l 解解式是求出来了，求跟外轴交点这样一个重结句，这不就是解完这样的圆心了吗？然后再求一下距离，求一下这个半径就行，不用用这种方法，咱们直接这样不就行了吗？ 我直接假设谁啊？我直接假设圆心坐标，也就是点一坐标是零逗号，多少零逗号，这个零逗号小 b 吧，求他， 然后你接下来让 ea 等于 eb， 不就能求出这个 b 的值是多少，圆心不就出来了？圆心出来了，然后用这个点 a 到点 e 的距离公式，那半径其实就是 e， a 的距离，最后也求出来了。现在我显示一下最后结果吧，你看一下就行了啊，最后结果应该是求出来这个，嗯，圆形坐标是零多号 正一的，也就是这个圆形点一的坐标，最后这个半径呢，是十，是根号十，你求一下，然后来看下一道题，下一道题就能非常好的体现谁的特点了，非常好的体现一般方程的特点了。然后对于圆的标准方程来说， x 减 a， 然后加上 y 减 b， 等于什么？等于 r 方， 我们在这样一个方程里头，需要求出来 ab， r 三个待定系数吧，需要求出来这三个系数。但是呢，对于一般方程，一般方程的话是 x 方加外方加 dx 加意外加 f， 他等于零。也是需要求时呢，需要求大姐的 d、 e、 f 这三个系数。当然了，三个不贡献的点确定一个圆，这句话确实是对的，我们带三个点，可以把三个未知数求出来。按理说啊，用这个圈一的式子，还有圈二的式子都可以求出来，但是圈 二一这个式子呢？如果你这三个点之间没有任何确定的关系，既不在一条线上，也没有任何这个其他的关系，随便给了三个点，那这种情况下，我们肯定是选二而不选一。为什么？因为你选一的话，你这个 ab 他会带有平方向，平方向那个系数不好算的，你可以试一下。所以这道题我们要假设什么？假设这样的形式了， 那假设这样的形式以后你看啊，必须假二，设这样的圈的形式。假设一般方程，假设之后呢，我分别带入 a、 b、 c 三个点的坐标，就变成了多少倍的 d， 多少倍的 e， 多少倍的 f 啊，等于零，然后多少倍的 d， 多少倍的亿，多少倍的 f 等于，当然不一定等于零啊，等于某一个乘三个嘛， 就变成关于 d、 e、 f 的三元方程组了，三元依次方程组。接下来你自己求他，这个 d、 f 算出来分别是多少呢？这个 d 算出来是负七， e 呢？算一下是负三， f 算出来是二。所以这个圆的方程就是 x 方加 y 方减七， x 减三亿，加上这个 f， 也就是加上二等于零啊，加上三倍的 y 啊，这个地方应该是加上三倍的 y。 那好了，这个题不就做完了吗？没问题了吧。那继续往后说啊。 接下来这一点的话，我想讲的是直线跟圆的位置关系。其实直线和圆的位置关系的话，就三种，一个是相交、相切、相离。高考考什么最多？其实不管高考还是你平常考试考，相切是最多的。初中关于证明切线的话，这几个方法是什么来着？ 是正面垂直吧，一直九十度，半径垂直于这样一个直线啊，九十度，然后就推出来这样的相切了，对吧？这是初中用几合法，但到了高中的话，一般用的是距离法。什么叫距离法呢？当这个记住啊，这个 om 表示什么？ 表示的是圆心到直线的距离。如果圆心到直线的距离恰好等于半径的话，那此时我们就可以下结论，直线跟圆此时是相切的关系啊， 那如果说他这样的距离是大于半径的，那就是相离的关系呗。那如果说地小于半径，小于半径的话，那其实就是相交的关系，有两个交点对不对？相交好，那继续往后看了啊，有了这样的关系之后的话，接下来我还想说一下具体怎样去算这样的距离呢？ 点到直线的距离。首先点点指的是圆心吧， a 多号 b 直线呢？直线的话，咱们不妨就把他的这个简介是写成 ax 加 b 加 c， 那点到直线，他的距离公式是有的呀，距离公式你直接套一下，咱前几个已经讲过，包括证明方法都讲了三种的啊。那好了，下边就不多说了，用的是几个法。 看好了，我们现在来看一下这个列二，这个列二怎么做呢？这道题很好做吗？看了啊，他说的是已知圆，这个圆主要是太特殊了，我们可以把这个圆给画出来。这太特殊了啊，他这个半径是多少？半径的话，显然是根号，那就二倍根号，二倍 圆心的话就是零的哈，零我大概画了一下，可以说画的非常标准啊，画完这个圆了，画完这个圆以后的话，这个点屁呢？注意右边这个右端点的话，他是二倍跟号二其实就是半径吗？和四。我想请问大家啊， 你说这个四和二倍根号二什么关系？其实他是等于二倍根号二，四的平方等于二倍根号二的地方，再加上，那他究竟又有什么关系呢？你别忘了，现在我们要求的是点屁。什么情况最特殊？相切的时候，这个情况 对头说，因为相切稍微远一点就相离了，直线相切呢，离这个圆形稍微近一点就相交了，所以我们先求这个极限，就是相切的情况，这临界的情况。那好，现在呢，我过点批做切线啊，注意，这是此时是切线， 然后这条线呢，标上标成 l l 一，这个是切线，然后向上的话，因为是关于 x 轴对称的吗？啊，我标一下 l 二。 那继续来看，如果根据初中的知识来说的话， o 点过 o 点做 om 垂直 l 一，这个 m 点就是切点吧。请大家看一下，在图中这样的直角型角形 omp 中，他的三边分别是多少？其中斜边是等于四的， 另外这个半径 om 也就直角边是二倍跟号二的，然后再根据勾股定理，我也能算出来这个 pm 呢，也是二倍。哎呦，原来是一个等腰直角三角形。 等腰直角三角形的话，所以很快就得出来这个角 mpo 等于四十五度。有朋友说了，老师，倾斜角，什么叫倾斜角四十五度啊？他这个倾斜角呢，看的是跟 x 轴正方向夹角，这个角才是说 l 一的倾斜角，所以他这个 c 的一是一百三十五度。 哎呦，倾斜角知道了，斜率不就知道了吗？斜率等于摊诊的 ct 一，也就是等于负一，那同理可得，这个 l 二的斜率，那肯定是四十五度的倾斜角，那就是正义了吧。那其实很好说，那括号一的话，答案是多少？答案就是正负一啊。刚才那个图里头已经说明了， 那香蕉的时候，还有最后一种香梨的时候呢？你自己画画图讨论讨论就很容易，我就不多说了，咱继续来，往后看最后一点，两个圆之间的位置关系。 先看哪两个呢？还是先看这个外切和内切极限的情况。外切，什么叫外切啊？两个圆刚好 接触到只有一个交点的时候叫外切。那这种情况下，显然这个 r 一加上 r， 一定要记住这样的关系， r 一加 r， 他是等于两个圆心之间距离的圆心，分别是 c 一、 c 二， 那内切呢？内切我们也是很容易看出来，注意啊，这个是 c 一比较大的，这样圆心， c 二是比较小圆心。 嗯，现在呢，这条横线呢，他是二一，后边还有一个二。哦，原来二一减二，他等于 c 一 c 二，当然，具体在操作的时候怎么样啊，他这个 r 一 r 不一定不知道哪个大哪个小，你带个绝对号就行了。是不是有点像这个三角形三面关系？看了啊， 外离，那外离好说，你让两个圆形距离再大一点，再远一点，所以就变成了 c 一 c 二大于二。一加二手，这个代表两个圆呢，是外离的关系。这几个转眼名词要记住了，相 交的话，就是两个圆呢，他有两个交点，这个相交的情况，相交的情况显然是，他比外切圆心呢要更近一些，两个圆心的距离呢，比内切这个圆心距离要稍微远一些，所以呢，相交的情况，他应该是一个范围，当两个圆心之间的距离他是大于 这个半径之差，但是小于两个半径之和的时候，这种情况是相交。那最后一种情况，内涵，那肯定是比那些更近了，那就是 c 一 c 二，他的距离小于 r 一加 r 的绝对好，这个一定要记清楚啊，你自己整理一下， 那这些有了之后的话，继续往后看。我们用什么呢？就是用这样的几合法比较什么？比较两个半径的和差，还有谁？还有这个两个圆形之间的距离来判断两个圆之间的位置关系究竟是相切呀，外切那些外离 内离，还说什么内涵啊，还说其他的关系，这五种关系。那好，现在我们来做一道综合性的题目，这道题目的话是这样的啊，他都写的是什么方程啊？都写的是两个圆的一般方程，一般方程的话咱们直接来写出他的，你自己来求一下吧，求一下他的这个半径和圆心， 显然第一个圆，他的圆形的话是 m 负二，这个很好球啊，刚才我已经讲过了，这个 c 二呢，他的圆形的话是负一，都好 m， 但是半径也得球， 这 r 应该怎么求啊？二分之原始公式的话是 d 方， d 方减去四 f 我们直接套进去啊，其实可以把这个 m 消掉的，他就能算出来的话半径是三，然后这个 r 算出来半径是二。 所以大家现在想一想，只有当 c 一 c 二的距离等于哪个，我们先算最特殊的外切时候的情况，我们先算这个 扣二，那肯定是元气句等于二，一加二，也就是等于五的时候，这种情况下才能保证是外切的。根据 c 一 c 二两点之间的距离公式也就是多少啊，也就是跟号一下， m 加一的平方，加上 m 加二的平方，他是等于五的，我们算一下，随随便便就算出来了，此时算出来两个值，其中一个是二， 另外一个呢是负五，所以这个括二下结论的时候，当这个 m 等于二或者负五的时候呢？这种情况下两个原因是外切。那其他这种位置关系，比如说外离相交、内切内含。这就留给你自己作为作业了啊。我把答案显示一下，你做完之后再对答案。 答案就是这些情况了。刚才我们求的是科二这种情况。那这节课你学会语言的方程还有位置关系了吗？分享课堂知识，感受书界之美。我是安范老师，下节课再见。

这个视频咱来讲讲圆的标准方程。初中你都学过圆，但如果我把圆放到坐标系里，告诉你圆心是这个点，二三，半径是一，那你知道这个圆的方程怎么写吗？ 嘿嘿，圆上的点到圆心，距离肯定是半径，那圆上的点是 x， y 的话，根据两点间距离公式，根号下 x 减二的平方加上 y 减三的平方，这个距离就等于半径一。 柿子长得不好看，两边平方一下，就是 x 减二的平方，加上 y 减三的平方等于一的平方，这就是圆的标准方程了。那么问题来了，如果我把圆心换成任意点， ab， 把半径换成 r， 那你还会写圆的方程吗？ 对了，就是 x 减 a 的平方加上 y 减 b 的平方，等于 r 的平方，其中原先是 ab， 半 镜是 r。 知道了什么是圆的标准方程，那你看这个方程，他的圆心和半径，你能瞪出来？不？是的，圆心是负二，一，半径是二，这可别忘了开方。那么问题又来了，你说这几个点再圆上，不 先看零，一把点带入远方程，就能得到四，加上零显然等于四，那你就知道这个点肯定在圆上。再说零，零也把他带入远方程，那就成了四加上一，显然等于五比四大，这就说明点离圆心比较远，就像这样， 那就是点在圆外，最后一个点负一，一一样带入圆方程，算一算就是一，一加上零，这等于一比四小，也就是点离圆心很近，这样的话，点就在圆内了。 你看把点带入圆方程，如果相等，那点在圆上，如果大于那点在圆外，如果小于，那点在圆内。 ok， 总结一下，这就是圆的标准方程，圆心是 ab， 半径是 r。 如果让你判断点与圆的位置关系，只要把点坐标带入方程，看看是等于大于还是小于就可以了。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

大家好，这次我们来讲一下圆的标准方程，那么首先是什么是圆， 他的定义是什么？那么圆就是到一个定点的距离，等于到一个定点的距离，等于定长的所有点的轨迹， 比如说这个点 py， 而这个定点呢，就是圆心，圆心 o， 那么这个 他到圆上的点，到这个圆心的距离都等于半径，都等于半径，也就是到一个定点的距离，等 约一个定长的这个定长就是半径所有点的轨迹，那么就成为圆，那么它的标准方程是什么？ 我们设原上的点为 pxyxy， 我们要找到 xy 的一个表达式，那么就是他的标准方程。这表达式 圆心我们可以射圆心是 ab， 半径呢为 r， 那么根据原的定义是圆心到圆上点的距离是等于半径的，那么也就是 op， 他的距离呢？我们可以用两点间的距离公式，可以倒出来 x 减去 a 的平方，加上 y 减去 b 的平方， 他的距离是等于半径 r 的，那这里面含有根式，我们对这个十字形变形，这便是圆的标准方程。这两边平方可以得到 x 减 a 的平方，加上一个 y 减去 b 的平方，是等于 r 的平方的， 那么这个就是圆的标准方程。如果给你了一个圆的标准方程了，比如说 x 减二的平方，加上一个外减一的平方， 等于三的平方，那我们从这个圆的标准方程里面我们可以得到哪个信息呢？可以得出来，他的圆心为他的坐标是二一，半径呢是等于三的，得到这样的信息， 这是圆的标准方程。那么第三电和圆有哪些位置关系呢？ 点和圆的位置关系有三种， 第一种是点在圆外，第二种是点在圆上，第三种是点在圆内圆内， 那我们怎么去判断这个点是在圆外，圆上还是圆内呢？我们可以把这个点，比如说这个点， 这个点是 a， 圆心是 o， 那么 o a 的距离 o a 的距离，这个 d 对在员外的时候，那么这个 d 呢，是大于这个半径 r 的，在圆上呢，他和这个半径 r 是相等的，在圆内呢，就是小于半径 r 的，小于半径 r 的， 那我们就可以把这个 a 这个坐标，比如说 a 的坐标是 xy， 他的坐标啊，那我们带到这个标准方长中，那我们和这个 把这个 xy 带到这个左边和右边 r 的平方进行比较，那么如果 x 减去 a 的方，加上一个 y， 再减去 b 的方，他如果大于 r 的方的话，那就说明是员外的。哎，也就是这个距离的平方，也就是这个 o 和圆心和这个 a 点的距离的平方。大于半径的平方，那就说明是在员外的，那如果 等于呢，就是在圆上啊，他就，也就是他满足这个点呢，满足这个圆的标准方程，那就是他在圆上面，那点在圆内呢？是这个距离的平方， 是小于这个半径的平方的啊。我们通过把这个点带到这个圆的方程里面，和 右边的 r 的平方进行比较，那我们就可以判定出来这个点是在圆外，在圆上还是在圆内，这是圆的标准方程的知识点。我们看后面的练习。首先第一个，那么让你写出他的标准方程， 圆心有半径有，那么我们直接就可以写出第一个他的标准方程是 x 加减去负三，就是加上三的平方，第一啊，然后 加上一个外减去四括号的平方，等于半径的平方就是五，这是第一个。第二呢，是他是原先有，但是没有半径， 我们要算出他，并且这个圆呢，也经过这个点，圆心和圆上的点之间的距离就是半径，我们首先要把这个半径求出来，那么半径 r 是等于 半径 r， 二是等于这两个之间的距离就是 cm， 而 cm 我们用两点间的距离公式把它算出来是负八加五的平方，然后加上一个三加一的平方，这是三的平方，加上四的平方，那就是五 五，那所以说它的圆的标准方程就是 x 加上八减去负八，就是加上八的平方，加上一个 y， 再减去三的平方，再加上 r 的平方就是二十五，那么这个就是第二小问的标准方程。这是第一题， 我们看第二题，这个第二题是已支援的标准方程，是这个我们要借助 计算工具计算判断下来是在圆上，圆外还是在圆内，我们判断这个点是在圆上，圆外圆内，那我就把这个点带到这个标准方程里面，和右边进行比较 啊，左边和右边进行比较，那如果是大于右边的是大于十六，那么我们就可以说是在圆外，如果等于十六呢，就在圆上，如果是小于十六呢，就是在圆内。 所以说我们第一个解 第一题呢，我们把它带到，把它带入到这个方程里面，是因为四点三零减去三括号的平方，然后再加上一个负五点七二加上二 的平方，我们用借助以计算器把它算一下，就等于十五点 五二八四这样的一个式子，那么他呢是小于十六的，小于十六，那说明，所以说这个 m 一呢，是在园内的， 是在园内的。我们看第二题，我们把这个点呢，带到这个方程的左边，是五点七零减去三扣的平方， 加上一个一点零八，加上二块的平方，我们用计算器来算一下，得出来是十六点 七七六四这样的一个，那么他是大于十六的，那么所以说这个 m 二呢，是在员外， 在远外。我们再看第三个，因为把三带到里面，三和负六这个坐标带到里面就等于负六，加上二的平方，他是 等于十六的，那所以说这个 m 三这个坐标呢，是在圆上，在圆上，这是这道题。我们看下一道第三题， 已知两个点的坐标，然后求线段 p 一 p 二为直径的圆的标准方程，并判断这三个点在圆上，圆内还是圆外。那我们想要 求这个圆的标准方程，那我们首先要求出他的圆心，还要求出他的半径啊。那对于这道题，我们这样写，我们设， 我们设原的标准方程为 圆的标准方程为 x 减 a 的方，加上 y 减 b 的方，等于二的方，那么则圆心呢？这里面的圆心 为圆心的坐标是 ab， 那么半径为 r， 半径为 r， 这个 r 二是大于零的啊，这个 r 二是大于零的，那我们由题意可得 有提议之，这是 p p， p 二是直径，那说明他的终点就 是终点，他的终点坐标，那么就是圆心的坐标，那所以说 a 呢，是等于 我们用终点坐标公式，四加六除以二，横坐标就等于这个就等于五，那么重坐标呢？是等于九加三除以二，那么就等于六， 那这是半径呢？半径我们可以半径 r， 那么就等于二分之一 p 一 p 二这个直径的距离，这 p 一 p 二的距离，那么就是直径除以二，那就是半径， 那么他距离呢？我们可以用两点间的距离公式来算出来，那就是四减六的平方加上一个九减三的平方，那么就是这个是四，这个是六 一六三十六四，那我们就可以四十开除二，二和二，约掉根号十，根号十，那么所以说圆的标准方程为，我们就可以写出来圆的标准方程为 该圆的标准方长 x 减去五的平方加上一个 y 减去六的平方是等于十的十， 那我们再判断这三个点在圆上还是圆内，圆外怎么判断呢？就是把这个点带到这个方程中看，和这个右边这个实际性比较，如果大 大于十，那么我们就说是圆外等于十呢，就是圆圆上那么小于十就是圆内。那么也就是因为 我们把 m 点 m 点这个坐标带到这里面，是因为六减 m 的平方加上一个 九减六的平方，他等于这是一，这个是三九十，那么正好是等于十，那么所以说 m 这个坐标点六九点呢？在圆上， 在圆上啊，那么因为把这个坐标点 n 点坐标是三 减去五的平方，再加上个九减，把三减六的平方，三减六的平方 带进去，他等于二的平方是四，三的平方是九四，那四加上九是十，三 是大于十的，那么所以说这个 n 呢？三三点是在圆外 远外，那么又因为这个 q 点， q 点的坐标是五，减去一个五，加上一个三，减去一个六括号的平方，那就 就是三个得九九是小于十的，所以 q 点呢？五三，这个坐标点在圆内，圆内，这是第三题，我们看第四题， 这是一个三角形 aob 三个顶点的坐标，那么求外结缘的标准方程，我们有两种方法可以做，方法一， 我们射出来他的标准方程为射他的标准方程， x 减去 a 的平方，加上 y 减去 b 的平方，等于 r 的平方，那么儿是半径大于零，那 这三个点都在圆上，因为他三角形的外接圆嘛，这三个顶点呢，都是在圆上的，那我们都满足这个方程，我们就变可以列出三个方程来，那么就是四 减去一个 a 的平方，然后加上一个 y 的平方，等于二的平方。 啊，减去减去一个 b 的平方，错了啊， b 的平方等于二十平方，这是 这是这个坐标点，然后零零点呢，带进去以后，就是 a 的方加上一个 b 的方，是等于二 二的方的，那么再把这个零三点，零三点就是 a 的方加上一个三，减去 b 的方，等于二的方，我们解这个方程组三个未知数，三个方程解的， 解得它的 a 呢，就等于二，那么 b 就等于二分之三，答，二呢，是等于二分之五的。那么所以说三角形 aob 的外接元 的标准方程 为，就是 x 减去二的平方，再加上一个外减， 减去一个二分之三块的平方，就等于二分之五的平方，就是四分之二十五，四分之二五，那么这个就是 我们用这种最一般的形式，最一般的方法，我们把列出两个，三个方程，三个位数，我们把这个圆心的横坐标，纵坐标还有半径求出来， 便可得出来这个标准方程，这是方法一，但是对于这个题来说，他是一种特殊的三个点啊，我们来看一下他是他的坐标是什么？ x 轴，外轴是圆点，是 oo 点，是个圆点，那么 a 点呢？是四零点， b 点呢是零 三零三点，那么这是个直角三角形，那么直角三角形的圆心，我们知道是在斜边上的中，斜边这个中点啊，斜边这个中点，那我们就可以用方法二， 可以直接把 a b 的终点求出来，比如说 c， 我们设为 c， 那么 c 点的坐标 就是圆心点， c 点的坐标我们可以算出来是等于，这是零，是二，零加四除以二二，那么这个二分之三的，这就是圆心点的坐标，我们可以求出来 圆心点的坐标，然后再求出半径 r， 那么 r 是等于这个斜边，就是一个直径过圆心的 先就是直径，那么直径五，他的半径是等于他的一半，那就是二分之一。 a b a b， 我们把通过两点间的距离公式，可以把 ab 求出来， ab 就是等于四的平方加上一个三的平方，那也就是等于二分之五，那圆心有了，半径有了，那么方程呢？圆的标准方程，我们就是圆的 标准方程，就可以写出来，这个是计算量很小啊，很快我们就可以把 x 写出来， x 的平， x 减二的平方加上一个外减去个二分之三或者平方，是等于四分之二十五的啊，对于这种题我们才 去方法二是最简便的。那么有时候有些题这三个点没有规律的话，我们只能按照方法一列三个方程，然后解方程组，把原点的坐标和半径求出来，最后写出标准方程完毕。

好，这节课呢，我们开始学习六点四节圆圆呢是我们生活中比较常见的几何图形，它既美观又对称啊。 我们首先呢要学习圆的标准方程，我们先看生活中的例子， 天圆地方呢，是我国古人朴树的世界观，圆很早就被运用于中国的传统建筑的设计之中，可以说没有圆就没有中式设计， 特别是在古代的一些重要的有意义的建筑物里边，比如说北京天坛的环球坛，就是一个典型的圆形建筑， 就是下边那个图片，你看外边呢是一个方形的围墙，围墙内呢是一个 圆形的围墙，你看就是地方天圆，是吧？然后圆这个围墙中心呢，又有三层的一个圆台，圆台呢是同心圆，我们知道，并且我们 呃还知道这个圆形的围墙呢，就是我们熟知的回音壁。 另外呢还有在园林设计的时候用到的洞门，也就是俗称的月亮门啊，月亮门呢也比较美观啊。那么我 在竖线上如何用方程的形式来表示圆呢？ 没看。首先呢我们看圆的定义，我们说圆是平面内到定点的距离等于定长 r 的呢，这个动点的轨迹，这个动点呢就称为圆心 啊，这个定点是圆心，这个动点呢就构成了圆，而这个定长呢，定长就是这段长呢，就是这个动点到定点的距离，就是半径 没。接下来我们再看一个 用铅笔画圆， 那有一个定点是圆心，然后有一个绳子系着这个铅笔，然后呢铅笔绕着定点旋转一周，就画出来一个圆。 我们说在平面直角坐标系中呢，已知圆 c 的圆心为点 c， 点 c 呢就是 点 c 的半，那个坐标呢就是 a b， 半径呢是 r， 半径是 r， r 呢也就是线段 c m 的长度。 呃，设原上的任意一点 m 呢，坐标是 x y， 那么就会有 m， c 是等于半径的。我们根据 两点间的距离公式，就得到了这样一个式值，这是两点间的距离公式，就是 x 有两个定点，假如说这是 x 一 y 一，这是 x 二 y 二，是吧？这是两个 点，两个点的坐标，那就是 x 一减去 x 二括着的平方，加上 y 一减 y 二括着的平方，也就是这个 x 减 a 括着的平方，加上 y 减 b 括着的平方，然后开方等于 这个半径 r， 然后将上面这个四的两边平方以后呢，就得到这样一个式值。这一个呢，就是我们称为以 c 为圆心， r 为半径的圆的 标准方程，这是我们这节课的重点，圆的标准方程，特别的，如果圆心呢，是在坐标，圆点就是坐标，圆点就是零零，它的半径呢是 r， 那么圆的标准方程就是 x 方加 y 方，等于 r 的平方。 好，我们再用动画呢看一个圆的方程， 我们看这个呢，就是圆心在圆点，你看这下边是圆心在圆点，圆心坐标是零零， 这个如果不动，半径呢，就是十四点五，如果我拖动这个圆啊，然后让它缩短，你看变成五点八，然后变大， 还可以到二十五，半径呢就是二十五，然后在动的过程，你看在动的过程中，圆心没动，半径呢，在不断的变化，我们看十七点八九，然后动动 缩小十三十二十九，好，然后变成一，然后再变大，我们只看这一点啊， 当然了啊，好，接下来呢，我们就看一个， 再看，如果我们动，刚才是动半径，如果我们再动，嗯，圆心， 如果动圆心的话呢？太好了，重新展示一下，重新展示啊，看着，如果我们动半径， 我们只看呢？只看什么呀？只看圆的标准方程六，下面这个一般方程，我们下一节课再讲，我们就看这个数的变化，半径的变化啊，变小，变大。接着呢，我们再看， 如果半径不动，我们如果移动圆心，这个圆的标准方程呢？也在变，圆心现在是零零，我们把它移到五五，是吧？这个这个，这个 移到了五负负五五，大概是这个位置好，到了负十十，是吧，然后在四个下线内动，这是圆， 这，这下面就表示圆心的坐标，这是半径，没动，一直是十二点多，你看我在这动的时候呢，这个半径圆心的，这个圆的，这个 圆心坐标在动，这个呢，都是第四象限呢，都是负的，是吧？啊，这是第四象限啊， x 是正的， y 是负的啊，你看这个呢，它一直在动， 如果在 h 轴上，那么有一个呢？ y 呢？它就是零。好，我们有个大概的直观印象。 接下来我们回到我们的题目中，说语言的标准方程呢，就是 x 减 a 块的 平方加上 y 减 b 的平方，等于 r 的平方，其中呢， a， b 就是圆心，坐标半径 r。 好，我们来看例题一，一点， c 是一二为圆心，半径 r 等二的圆的标准方程。 我们说以圆以 c 点是一二，横着标一，中着标二，以二为圆心， r 等于二为以二为半径。你看这这，这一点到 h 轴的距离就是二，所以说这讲这就是一个圆的草图，那它的标准方程呢？我们就说是 x， 这个一就是 a， 二呢，就是相当于是 b 了，所以算一下， x 减 a， 就是 x 减一，括住的平方加上 y 减二，括住的平方等于二的平方，半径是二。好，同学们记住啊，这是不是二 是等于半径的平方是二的平方？例题一，例题二说已知圆的标准方程有了，根据标的标准方程呢，求出来圆的圆心坐标以及半径， 那么我们这里知道就是是 x 减 a 加上 y， 它的平方加上 y 减 b， 是吧？减 b 的平方，所以说那二就是 a， 那个 啊，负二就是 a 啊，因为是减 a， 是 x 减二，所以说它的圆心坐标就是负二 外减 b 呢，这个 b 呢，就是一，所以说圆心的坐标就是负二一，半径呢，这个九呢，是等于三的平方啊，所以说那半径 r 呢，就等于三啊。 这个圆的潮图就是大概就是这样的，它是以负二一为半径， 负二一为呃，负二一，这个注化票已坐标半径 r 呢，等于三啊，它就是大概就是这个朝， 当然同意没有，以后画做题的时候不用画长图，现在画出来图呢，是帮助大家理解这个更好的理解， 让数就是代数式，值和图形相结合，这样呢，相互促进，让大家更好的理解， 探究和发现。说射元的方程呢，是 x 方加 y 方等 r 的平方。如何判断一个点 p 零，它的坐标，假如说是 x n y 零是在元内呢？在元上和在元外这三种情况。 我们说假如说有一个圆是以圆心为，呃，以圆点为圆心， 那么如果他在原上，那点 p 零在原上，也就意味着 o p 的长度是等于半径 r 的， 所以说，那我们就说那半那圆心呢，是零零，那 p 点坐标是 x 零 y 零，所以说 op 零的长度就是他等于二。时候就这个设置成立的时候，点 p 零呢，就在圆上。 那同样道理，如果是点 p 零在圆内呢？你看上面这个式子什么样？我，我现在把下面这个式子把它简写了， x 零减零，那就是 x 零的平方，是吧？ 哎，这就是就是下面这个了。所以说当 o p 零等于 s 零方加上 y 零的平 开开方，如果这个值呢，小于 r 小于 r 呢？那这个点 p 零的坐标呢？点 p 零呢？就在原内。 同样道理，如果是这个 o p 的长度大于 r， 那么 p 零呢？就在原外。 好，我们看练习还是老规矩，我们在做练习题以前呢，首先自己啊看一下书，把公式熟悉一下，然后做题。做了题以后呢，再看解答。 今天的作业题呢，还是比较练习题比较简单的，我们看圆心是 c 零零，半径 r 等于一。那 背公式的话，你看，呃，圆的方程标题方程我们写到，这是 x 减 a 括着的平方加上 y 减 b 括着的平方 等于 r 的平方。好， r 等于一的平方， a b 都是零，所以咱的角结变成 x 方加 y 方等一的平方就是一。第二题， 圆心呢，是零，一半径是 r， 那就是 x 减零的平方加上 y 减一的平方等于 r 的平方，三的平方等于九。 第三题， x 减三的平方加上 y 减零，就是 y 的平方等于 r 的平， 平方是二的平方等于四。第四题，说圆心有了，他没说半径，但是说这个圆过这个点 p 五五， 那圆过点 p 也就意味着点 p 呢，是在圆上，所以说那么 c p 的长度就是半径了 啊。这样呢，我们就先用两点间的距离公式把半径求出来，所以说 c p 就等于 x 一减 y 一的平括号平方再加上 y 啊。 y 二减 y 一括的平方就是五减二括号平方加上五 减负一，就是五加一括的平方等于根号四十五。所以说那这个半径是根号四十五，那么圆的方程就是 x 减二括的平方加上 y 减负一括号的平方等于四十五。 接着我们看练习二说，下面给出来了圆的方程，求圆心坐标及半径。 好，第一个呢是圆心呢是零零半径呢是四啊，可不是十六啊。第二题，圆心呢是一，零，半径呢是二。第三题呢，圆心是零，负 负三，半径时三。第四题，圆心是二一半径时不是二啊，是根号二， 因为这是 r 的平方。第五题，圆心是负一三，半径时五 啊。再看第三题，说已知两个点 p q， 求以线段 p q 为半径，点 p 为圆心的圆的标准方程。好，圆心是 p， 半径呢是 p q， 那么我们先把半径求出来来说， 假如说草图是在这 p 点呢，是负一三， q 点呢是二一，那么这个圆的草图就是这样的。好，那它标准方程是什么呀？ 我们先把 p q 的长度求出来，两点间距离公式， p q 呢，是等于求出来了，就是 x 一啊，就是啊，这这 q 点是 x 一啊。 p 点是 x 二， x 一减去 y 减去 x 二括号的平方就是二，减负一括的平方就是二加一的平方，再加上 y 一负一减三，括着的平方就是这是四的平方，三的平方加 四的平方，勾三股四弦五。所以说啊， p q 等于长度是五，半径为五，圆心是负一三，所以说就要写成 x 减负一括号的平方，加上 y 减三，括号的平方等于二十五。这道题呢就做出来了，当然同学们做题的时候呢， 在可以在研潮纸上一刚开始做题的时候呢，可以大概画一下草图，这样会加深印象， 当熟练以后呢，我们就慢慢的摆脱图形，我们看到了这个这样的方程，我们就就知道他表示的是一个圆，如果看到了一个圆，我们就就知道呢，他的方程大 大概是什么样的，我们要达到这种就是看到 a 就想到 b， 看到 b 就想到 a， 是这样的一个效果，这就是树形结合的思想慢慢的建立起来。 好，这节课的内容呢，相对来说简简单，我们就先讲到这里，下节课呢，我们讲圆的一般式方程。

求经过三点 a、 b、 c 的原的标准方程和一般方程。 首先我们假设圆的一般方程为， x 的平方加 y， 平方加 d， x 加 e， y 加 f 等于零。由于这三点 都要在这个圆上，因此这三点的坐标将满足这一个圆的方程，也就是说 这三个点的坐标带进来， x 为零， x 为零， y 为零， y 为零，这个方程成立。 b 点也要满足这个方程。这是 x 等于一， y 等于零， x 等于一， x 等于一， y 等于零，也要满足这个方程。 c 点在圆上，所以 c 点的坐标 x 等于零， y 等于二，也要满足这个方程。 x 等于零， x 等于零， y 等于二， y 等于二，也要满足这个方程。显然，由第一个方程我们可以很快的得到长竖向 f 等于零， 由第二个方程 d 乘一得到 d， 一乘零，得到零，一的平方就是一，所以得到 d 加 f 等于负一。第三个方程， 一乘以二，得到两个一，一乘以零等于零。二的平方等于四，我们得到二 二倍一加 f 等于负四由于 f 等于零， f 等于零，所以很快我们可以得到 d 等于负一，一等于负二， 从而得到直线的一般方程就是 x 的平方加 y， 平方减 x 减二， y 等于零， 我们通过配方将它变成标准方程。 那么左边加上一次项系数 x 的系数， x 的平方加减去 x 加上二分之一的平方，右边也加上 二分之一的平方， y 的平方照超减二 y， 然后加上一的平方，右边也加上一的平方。等式依然成立， 那么右边就是二分之一的平方，四分之一加上一的平方，一等于四分之五，右边是四分之五，左边这里写成 x， 减去二分之一的平方。 右边这三项写成 y， 减去一的平方等于四分之五，这样我们就得到圆的标准方程。

哎，我不直接给你，我就说这个圆呐， 这个圆呢，它经过两点， a 点和 b 点坐标给你。然后呢，我说这个圆心 c， 这个 c 呢，它在一条直线之上，那请问这个圆它的标准方程又是多少呢？ 哎，同学们看好这道题，两种减法，一种呢，就是我们求出他的圆形坐标加上他的半径。另外一种，你可以用我们上堂课这个直线这一部分学习哥的内容啊，可以联络一下。哎，大家可以先先尝试一下自己。 好，大家解出来了吗？他的半径是多少呢？他的这个圆形坐标又是多少呢？ 好，我们一起来看一看哦，数学嘛，就是翻译工作，所以我们看圆心经过这两点。好，这个条件说明啥？哎，说明这两个点到我们圆心的距离就等于半径，对吗？也就是 ac 会等于 bc， 都等于我们的小二。 好，这是第一个条件，搞定第二个条件，他说圆心 c 在这个直线之上，说明啥？还说明我们圆心 c 点坐标，如果我们设他为 ab 的话，说明这个坐标之间就满足我们直线的关系，也就是 aa 减去 b 加一会等于零。 好，第二个条件，翻译完了，那现在我们只要用这两个条件就能够把这些东西解出来了。首先第一种方法， 第一个条件，你不是说 acbc 等于 r 吗？而西点坐标我有啊， ab 点坐标我不是也有吗？那不就说明 我们根号之下的 a 减一的平方加上 b 减一的平方，就等于个号之下的 a 减二的平方加上 b 加二的平方吗？哎，这是我们第一个条件啊，两点距离公式，然后我们两边既然都有平方的话，我们就可以把根号拿掉， 而且拿掉之后，你发现我们这里面的这个二次象其实都消掉了，因为都有 a 方加 b 方嘛， a 方加 b 方，都有 a 方加 b 方，所以里面其实只剩下我们的一次向，那第一项的一次向等于负二倍的 a， 第二项，哎，长出向是加一，而第二项他的依次向负二倍的 b 加一会等于。好。后面这里 第一项的依次项是负四倍的 a， 然后长数项是加四，那么同样加四倍的 b 加四好化解一下，会等于我们把这边拿过来，会等于二倍的 a， 然后再减去六倍的 b， 然后再减去六等于零，那也就说明 a 减三， b 减三等于零。好，第一个条件搞定了。 然后呢，我们还说这个圆心 c 在这个直线之上啊，那不就说明我们刚刚写出的这个是字，因为 c 在 l 之上，所以我们知道 a 减 b 加一，它是等于零的好，一是二是。很简单，你发现一是减二是，我们就能解除 b， 然后再把它带回去就能解除 a， 所以我们会解到 a 会等于负三，而 b 会等于负二，所以说明 c 点这个圆心的坐标有了，负三负二，而我们的半径也就有了吗？ 那就是我们 ac 的距离或者是 bc 距离都可以，那就等于个号之下的一加三的平方，加上一加二的平方呢？是十六加上九， 那就是五，一般就等于五。好到这那这个圆的方程就很清晰了，会等于 x 加三的平方，加上 y 加二的平方会等于二十五。这里大家一定要记得平方啊，跟我们的符号一定要看清楚，正的还是负的好，那这是第一种方法，我们再来看第二种方法， 哎，我们看哦，有的同学应该已经画出图了，我们可以画一个简单的示意图，哎，既然我这个圆 c 经过这两个点吗？而且圆心这一点还经过一个直线，好，大家看，是这样的一个示意图啊， 这是我们的直线 l， 那这说明啥呢？同学们，我们看，既然圆 c 它经过 ab 点，那我们学员的时候之前学过一个叫做垂径定理，那 ab 这个弦， 我们如果过 c 点做一个垂线的话，他的终点跟我们 c 点一连，你发现他们一定是互相垂直的，对吧？垂经定理吗？ 那么这样的话，也就说明我们这个 c 点坐标，他其实就在 cd 这个直线跟我们 l 这个直线，我们是他为 lp 的话，那也就是 l 和 lp， 他的焦点就是 c 点， l 是一支的，而我们的 lp 他的斜率他会跟 ab 这个直线垂直，而且呢，我们还能求到他的终点坐标，哎，我们看哦， 首先 ab 终点，我们通过终点坐标公示会得到，他是二分之三，负的二分之一，而我们的斜率 k， 他会等于。我们看 ab 这个直线，他的斜率 k 会等于 y 二减 y 一呢，就是负二减 取一会等于负三，比上 x 二减 x 一，二减一，那就等于负三，那说明我们 l 撇他的斜率点成负三会等于负一，说明 l 撇的斜率，哎，等于三分之一，对吗？斜率等于三分之一，他又过这一点，我们就可以用点斜式，我写到上面哦， 就是 y 加上二分之一，会等于三分之一倍的 x 减二分之三，你可以理解哦，那也就是三， y 加上二分之三会等于 x 减二分之三，那么化解一下， x 减去三倍的 y 减去三会等于零好， lp 直线他的方程有了， x 减三， y 减三等于零，而我们 c 点他不就是 lp 跟 l 他的焦点吗？那焦点我们只要连立两个直线，他的方程，这样子就能解到。我们外会等 负二， x 等于负三好，那同样我们也是会得到圆心，他的坐标会等于负三负二，而我们这个半径还跟上面是一样的过程， ac 两点距离会等于五好，那也是一样的结果。 哎，这也是为什么我们要把直线放到圆之前来讲，是因为圆这里面我们可以通过之前直线的包括点到直线距离，包括直线的一些方程来解到圆这里相关的一些信息。 那到这里呢，我们第一小节就结束了，那这堂课我们主要学习的就是我们原它的标准方程，关键就在于原先坐标和我们的半径，你要想尽办法求得这两个量，那方法其实就很多，根据你给我什么条件，我看我怎么用， 你只要把题目的东西翻译过来，两点距离公式是我们常用的哎，所以这里大家计算一定不要出问题，那我们就一起继续学习吧。

这个视频咱来讲讲圆的标准方程。初中你都学过圆，但如果我把圆放到坐标系里，告诉你圆心是这个点，二三，半径是一，那你知道这个圆的方程怎么写吗？ 嘿嘿，圆上的点到圆心，距离肯定是半径，那圆上的点是 x， y 的话，根据两点间距离公式，根号下 x 减二的平方加上 y 减三的平方，这个距离就等于半径一。 柿子长得不好看，两边平方一下，就是 x 减二的平方，加上 y 减三的平方等于一的平方，这就是圆的标准方程了。那么问题来了，如果我把圆心换成任意点， ab， 把半径换成 r， 那你还会写圆的方程吗？ 对了，就是 x 减 a 的平方加上 y 减 b 的平方，等于 r 的平方，其中原先是 ab， 半 镜是 r。 知道了什么是圆的标准方程，那你看这个方程，他的圆心和半径，你能瞪出来？不？是的，圆心是负二，一，半径是二，这可别忘了开方。那么问题又来了，你说这几个点再圆上，不 先看零，一把点带入远方程，就能得到四，加上零显然等于四，那你就知道这个点肯定在圆上。再说零，零也把他带入远方程，那就成了四加上一，显然等于五比四大，这就说明点离圆心比较远，就像这样， 那就是点在圆外，最后一个点负一，一一样带入圆方程，算一算就是一，一加上零，这等于一比四小，也就是点离圆心很近，这样的话，点就在圆内了。 你看把点带入圆方程，如果相等，那点在圆上，如果大于那点在圆外，如果小于，那点在圆内。 ok， 总结一下，这就是圆的标准方程，圆心是 ab， 半径是 r。 如果让你判断点与圆的位置关系，只要把点坐标带入方程，看看是等于大于还是小于就可以了。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

这个视频里，我来给你讲讲圆的餐厨方程，那它该长成啥样呢？先来看个例子吧，这里有个圆方程是 x 方加外方等于二方，它的圆心是坐标系的圆点。如果在这个圆上有一点 p， 它的坐标是 x 和 y 连接 o p， 很明显，这个 o p 就是这个圆的半径 r。 如果已知这个 o p 和 x 轴的夹角为 c， 它 那这个横缩标 x 就是这条线段的长，也就等于 r 乘扣三 c 他，而这个 y 就是这条线段的长，也就等于 r 乘三 c 他啦。到此，咱就得到了一个这样的方程，其中这个 x 和 y 是原盛点的坐标，那这个方程当然就和这个方程一样，都能表示这个圆啦。而且这里还包含了 c 他这样一个参数，那咱就把它称为这个圆的参数方程啦。 不过这是圆心在圆点时的情况，如果这个圆的圆心不再圆点了，而是在这个 x 零和 y 零的点上，那他的猜出方程就要给 x 和 y 分别加上 x 零和 y 零变成这样了。 而这个 ct 的取值范围当然就是零到二块的 b 区间了。不难发现，在这里这俩数就是圆心的坐标，而这个系数就是圆的半径。

你们好，我们这节课呢，接着学习圆的一般方程。 上节课呢，我们学习了圆的标准方程呢，就是 x 方 x 减 a 的平方加上 y 减 b 的平方，等于 r 的平方。 我们将圆的标准方程展开整理，就是把它把括号去掉，就变成了 x 方减二减二， ax 加上 a 方，再加 y 方减上二 by 加 b 方， 然后呢，这个 r 平方移到等时的左边，就是减 r 平方等于零，好，这样一个形式，如果呢，我们在这里边利用这个负二， a 等于 d， 负二 b 呢，等于 e， a 方加 b 方，减二的平方等于 f， 这样呢，我们就把上边这个圆的标的方程呢，画成一个二圆二次的方程就是这样简写成 x 方加 y 方加上 d， x 加 e， y 加 f， 等零 画成这样一个形式。那么我们再反过来想，那是不是一个二元 二式的方程，就是这样一个方程，是否它就表示一个圆呢？我们根据以往的经验来说，呃，圆的，呃， 我们学直线的一般方程的时候说，直线的一般方程是 a， x 加 b， y 加 c， 就是这个二元一次方程， 它是个直线，那么这个二元二次方程呢，它是不是就表示圆呢？好，我们 做下面的研究，我们说如果把这个二元二次的方程经过配方整理，会得到这样一个形式 啊，是怎么配方整理的呢？我大概写一下啊，同学们不需要我们掌握，我们说 x 方和 d x 相结合呢，如果把它要配成完全平方的形式，我们需要加什么呀？需要再加上一个，这个一 次项系数就是 x， 这个系数就是 d， 就是 d 的一半，一次项系数一半的平方就是二分之 d 的平方，加上这一项呢，再把它减去，我们保证这个设置没变吗？是吧？ 主要是还是他二分，再减去二分之 d 的平方。同样道理，我们让 y 和 e， y 相结合，说还需要加上一个二分之 e 的平方， 再减去二分之一的平方。好，这两个呢，是吧？它相结合是个零，它最像是个零，然后呢？有一个 f。 好，接下来呢？我们说让 a 和 他，然后再加上他，就是这三项呢？就是 x 加二分之 d 括着的平方，再加上 y 加上二分之一括着的平方二分之一，然后再加上，然后呢？ 呃，前面的四下没了，也就剩下个什么呀？就剩下了个负二分之 d 的平方，也就剩下了个负的是分之地方，二分之地的平方就是是分之地方，再剩下一个负的是分之一方， 再加上一个 f， 好，加这个 f 呢？我们刷的是个 四分之四， f 就是 f 了，是吧？这样我们是为了通分，这样就他就变了个四分之。什么呀？负地方加一减，一方加四 f， 然后把这个式子呢，再把它移到，等，把这个值呢移到等式的右边，就变成了他 查一查，好，这样就变成一个平方。平加平方等于一个， 这是个长数项，别看它显得复杂，它是一个，如果是一个 def 都是一个具体的数，以后它就等一个具体的值，所以说它叫长数项啊，它事上还是一个数，是吧？它是一个长数，固定的数， 固定的数，说如果他是一个正数的话，如果他是个正数，那么他们他不是就相当于是二的平方。 好，这样呢，我们把它整理以后，我们就知道说，如果这个数是一个正数，就是 d 方加一方减 cf 的大于零，那么这个二元二次方程呢，就表示的是以负二分之 d 负二分之一为圆心，以这个值开方，也就是二分的地方加一方减 c f 为半径的圆， 那这是他带零的情况，如果他等零呢？如果等零的话，那么这就变了，这就变了一个完全平方的等零的一个形式，那么这个二元如果他等零，也就是说意味 这是个，因为这个是一个呃，非负数，这个也是非负数，他等零，也就意味着 x 要等负二分之 d， y 等负二分之一，也就说这个方程呢，只有一组是数解，他的解是一个，就是一个点的坐标。 那样，这么那么呢，这个二元二次方程呢，就表示了一个点，事上就表示一个点，是因为什么呀？因为他的半径等零了，这个圆呢就变成了一个圆心了啊？ 那假如说他小于零，你看这个这个值有大于零等于零和小于零，如果小于零的话，那么一个非负数不可能是负数，所以说这个也就是说这个二元二次方程没有实数结， 它就不表示任何的图形了。好，上面这段分析呢，就是判断一个，上面这段分析就告诉了我们一个判断 二元二次方程是否是一个圆的标准方程的一个条件就是要求这个地方加一方减四 f 大于零。 好，这样呢，我们把它整理一下，比如说当地方加一方减 c f 大于零的时候，这个二元一次方程就表示了一个圆，这个方程呢，我们就称作圆的一般式方程，也就说是一般方程， 或者说一般是方程。好，为了加深一下呢，我们接着呢， 还是看一下刚才展示的这个圆的标志方程。这一次呢，我们看第二点圆的一般方程，一般方程呢？我们看还是那他呢？就是 d 方加一法，你看最后这个值呢，移到等式的右边，它就是个正值了，是吧？ 那也就是说在这里边第一方加一方减 c f， 它是个正值，所以说它是个圆啊。然后呢，我们动， 我们让圆扩大，圆心变大，你看这个值呢？在不断的变成负数的变大，是吧？不断的变大，如果让他变小，那这个负值呢？不断的在绝对值啊，绝对值，当然就在变小，是吧？ 然后我们移动这个圆心，移动这个圆心的时候呢啊，地方也的等于 d 也来动，是吧？ e 也来变。好，我们画到不同的位置，你看他都变成了有正有负，你看不停的在变到第四象限一个负，这是个负的，这是个正的，到第一象限他又都变成了负的， 是吧？然后，嗯，然后这个值呢，也得不确定是个什么值啊？因为 这三个数，第一方加一方减四 f 要大于零就可以了，这是这，现在你看到他是一个圆，当然了他他就你，你看 验证一下加起来那的层平方，然后看的是不是大于零，同学们可以自己验证一下。我这样动的话，咱们就看到这个变化，数值的变化，每对圆的一般方程有一个具体的认识啊就行了。好，这是圆的 一般方程。好，接着呢，我们用圆的一般方程做一个练习，第一，判断这个二圆二尺的方程是否是圆，如果是，那把圆心的坐标和圆的半径写出来， 那我们判断的标准就是什么呀？第一，我们根据定义就是这个圆的，呃，根据圆的二元二次方程里面知道， d 呢是 等于二， e 呢等于四， f 呢是等于四，因为呢，我们在看地方加意方减四， f 就是 二的平方，加上四的平方，减去四乘四。好，他等四大于零，大于零，所以说他大于零呢，这个就是圆的方程， 它的圆的方程，那圆心是谁啊？圆心是负二分之地，负二分之一。 好，我们把第一带进去， d 等二， e 等四，所以说这个就等负一负二，圆心坐标是负一，负二半径呢， r 呢就等二，非则地方加 e 方减 cfr 就等二分之地方是二，一方啊，就是就是，这刚才求出来了啊，地方加一方减 cf 就是四。好，四开方是二，二再除以二，等于一，半径是一， 这是减法一，我们看减法二，减法二的话，我们就是用配方法， 我们说将这个二元 h 方程呢，配完全平方，我们说 x 方和二 x 相结合，然后还差了一个一，我们就加上个一，然后再把它减去， 这样就前三项， x 方加二， x 加一，就是 x 减一的平方， 然后呢， y 方加四 y， 比如说 y 方加四， y 再加四，这个就是 y 加二括列的平方。 好，这边呢等式，就现在剩下一个负一，我们把负一移到等式的右边就是一，这样呢，我们就得到一个 x 加一的平方，加上 y 加二括的平方等于一。 好，这个过程呢啊，为了照顾程度稍微差一点的同学，我们把这个配方过程再写一下啊，他就是什么呀？那就是，好，这个是你看 x 方，然后加二 x， 他就写成 x 方加二 x 再加一，是吧？然后加一了，我再把它减去，好，然后还有个再加上一个外方 加四， y 再加四，好，它等零。你看前边的三项就是 x 加一的平方，后边的三项就是 y 加二的平方， 还剩一个负一，这个负一移到等式的右边是个一啊，就是就是这个完全平方了。好，从这个完全平方里边我们就看出来，他的圆心呢是负一，负二，半径呢就是一。 从这里我们要知道我们的配方把一个二元二式方程配方是我们学习员的一般方程的一个基本功啊。 好，例题四说求过三个点 a、 b、 c 的圆的方程，并且求出来圆心坐标和圆的半径。 我们知道呃，平面上的三个点是，那不在同一直线上的话，他就，他就可以确定一个圆，因为什么呀？因为他不在同一直线上，他就是个三角形，任何一个三角形都有外接圆，所以说他就确定了一个圆。 好，我们如果是呃要做的话，我们就是怎么办呢？我们 就解方程组说什么呀？因为说我们假设设这个圆的方程呢，是一个设圆的方程，一般是是这样的， x 方加 y 方加 dx， 加 ey 加 f 等零， 因为这三个点都在圆上，都在圆上就意味着他们的坐标是这个方程的解，那么我们就把这个 呃坐标呢带入这个方程里边。第一个呢，把 a 带入这个方程，就是零的方加零，方加 零， d 加零也好，就剩个 f， f 等零，这是把 a 点带入得到了第一个，那同样道理答，把 b 点带进去呢？ b 点带进去就是谁了呀？ b 是一，一就是一方加一方就是一加一，再加 d， 呃呃呃，一单就一 d 加一， e 加 f， 那就等于零，是吧？就是，那事实上就是一加一是二了，就是 e， d 加 e 加 f 等零，第三个把四二带进去，就是就是 四的平方，那我们带进去啊，他是他是谁来啊？是四的平方，是十六，加上 y， y 是二的平方是四十六加四就是这个二十了。好，再然后呢，是四 d， 这是四 d 加二代到 y 里边 二 e， 然后再加 f 等零，好，到了以后，这是一个关于 d， e， f 的一个简单的三元一次的方程组， 这个方程组结起来我们就用消元法解，就很简单，因为这个题呢，故意有一个圆点，圆心在上面的那出来 f 等零了，好， f 就等零，这直接告诉我们一个结，再把 f 等零带入这里边，就变成了 f， f 消掉了。这是个关于第一的 简单的二元一次方程，然后设他是一式，设他这个是二式，那么 d 呢？就等负一减二是吧？然后代入这里边，用代入消炎法就解出来了，好解，这个 三元一次方程组，就得到了 f 等零，然后把 d 等负二，然后解出来一等六，然后再把一等六带入上面这个简单的式子里边，就得到了 d 等负八， 好，解出来 d， e， f 以后呢，因此所求圆的一般方程就是 i， 就是这个，就是它了。然后呢，我们再把这个方程呢配方，配方就是怎么配呢？就是 欧巴特 啊，配方的话，那就是谁啊？好，我把它写到这上边啊，这就写成了 x 方减八 x， 让它差个一次项系数，那它的一半的平方，那就是负四的平方，加上一个负四， 就是负八除以二嘛，是吧？就是负四了，是吧？他的平方加上这个负四的平方，就是四的平方了，然后再减去四的平方，是吧？ 然后呢，然后有一个再加上 y 方加六 y， y 方加六 y， 另外它的一半的平方，一半是三三的平方，就是加上一个九，再减去九 啊， x 方加 y 方，然后呢，这三项就是 x 减四的平方，就是它 后边的啊，他，然后这等零了啊，后边这三项呢？就是剩下是什么呀？就是 why 啊？中这三项啊， 就是外加山或者的平方，然后这还有个什么呀？四的平方是十六，是不是负十六？这是负九，是个负二十五，负二十五， 再减九是负二十五，他加起来移到等式的右边，就变成了正的二十五，是吧？就是正的二十五，二十五再开方就是五的平方。好，这样就我们有有了 完全平方，完全平方得到一个完全平方以后，这样我们就看出来圆心坐标是什么呀？就是四，是这个数的相反数啊，是圆心坐标是四正，这是正三的话是负三， 圆形段位是负三，半径是五。 好，这样我们就把 这道题解出来了。好，接着我们看一个探究与发现，说中国天眼呢，就是就是当时右边这个图像，天眼呢？中国天眼就是个射电望远镜，是一个口径为， 就是直径是五百米的一个球面的射电望远镜，是世界上已经建造完成的口径 最大最灵敏的单体单天线射电望远镜说，如果把它的这个横截面，横截面看着是圆形，我们摄取适当的坐标系就可以得的，可以用圆的标准方程表示出来。是 你假如说设这个球面的，呃，横截面这个圆形的 圆心是坐标圆点，建立这个建立这个坐标系，那么因为这个球的直径是 五百，那他半径就是半径就是二百五，所以说他就是那个圆的标的方正就写成了 x 方加 y 方等于二百五，是吧，这是一个 是和我们生活中的一个励志啊，这是我们世界上最大的 这个射电望远镜是咱们中国建造的啊，这个射电望远镜呢，就是用来是用来接收来自于宇宙中最微弱的信号，来来探测是否会有外星生物啊。 我们这这样我们就知道原呢是生活生产事件中最常见的有漂亮的图形啊， 试着在找到更多的令词并见证并建立原的方程。好，我们看练习还是老习惯，我们要先把 先自己动手做一下，然后呢再看解答。好，求下列圆心半径和啊圆心坐标和半径。这是个一般式方程。好，我们把它配方 加上这个，原来这个方程配方就是 x 方加减四减四 x， 然后他需要差一个四加上一个正式再减去， 然后还剩一个外方，所以说他就配方变成了什么呀？ x 减二，前面这三项是 x 减二的平方，再加上外方 啊，减四减四呢，移到等式，右边是加四啊，四呢就是二的平方，所以说这个圆心半径呢，就啊，那个圆心坐标呢，就是二 二零，半径呢是二，下面这个同样道理，下面不过是配外方的，是吧，我们照样把的配方就得到了， x 方是外方，加四， y 还差一个正四，差一个加上一个四，再减去四， 好，后边有一个五啊，这样呢，这就是 x 平方，然后是这三项呢，是 y 加二的平方，然后剩下一个减九，减九呢，移到等式的 右边变成了加九啊，这就是 x 方，加 y 加 y 加二的平方等于九，所以半径呢就是零负二，半径是三啊，这写成负二 好，我们看啊，圆心是零，这是减负二，所以是半径是负二啊，减了个负二，就是加二， 这样很容易错的啊，因为，呃，你做题多了就知道了，很容易犯错误的，就是你要记住，呃，语言的标准方程什么样？是 x 减 a 的平方，加上 y 减 b 的平方等于 r 的平方， 也是 x 减 a 的平方。圆的标率方程啊，加上 y 减 b， 括的平方 等于二的平方，这里边呢，半径是 a b 啊，圆心坐标是 a b， 半径呢是 r 啊，是这样的，你一定要记准确。第二题，这是圆的一般式方程，求圆心半径啊，圆心坐标和半径， 这个稍微复杂一点，我们就不再详细解了啊，详细读了，因为时间关系 好，配方前三项是它的，这，这就是 x 和负六 x 结合，然后呢， 差一个九，我们就配一个九，再减去九在后边，这三 y 和二 y 结合，然后差一个正一，我们就加正一，再减一，然后这个负六移过来来说这三项，剩下一个负九，负一负六，他呢是等于是负十六，移到右边正十六 好说一说，圆心坐标就是三负一，半径呢，是四。第四题，同样道理，好答案就是这个，同样的可以暂停自己做一下啊，这个我就不再讲解了， 从这我们也知道了，配方是我们的基本功，一定要多练习才能熟练。 第二大题，求以点四负二为圆心二为半径的圆的一般方程。好，我们根据这个 圆心坐标和半径呢，我们先把它的标准方程写出来，然后标准方程写出来，然后再把它展开就可以了，是吧？展开的话，呃，就把括号去掉整理，就变成了 x 方加 y 方减 d， x 加呃，加 d， x 加 e， y 加 f 等零的形式。 你们说那为什么这么啰嗦呀？你有这圆的标准方程多好呢？做这道题，就是我们强化一下圆的标准方程呢，它的本质还是圆的一般方程，圆的一般方程也能化成标准方程，就是我们强化这个概念的 第三题位，这个方程是否是圆的方程呢？如果是，求出来圆心坐标和半径。 好，我们看是不是圆的方程，就是要看地方加一方，就是看什么呀？看地方加一方，加啊，减是 f 是不是大于零，如果它大于零，这个就是 圆的方程。我们看说啊，这这个也可以啊，我们直接就配配方了，如果配成了，那他就是配不成，如果这个配方这后边出来一个复数，那他就不是圆的标率方程。我们说配方把它配方以后呢，就变成了 啊， x 减二的平方加上 y 加一的平方等于六，好，等于六了，那它当然就是了，所以说那个圆心呢，就是四四圆的方程，并且圆心坐标 这节课呢，我们就讲到这里，我们把两节课小结一下，我们讲的是圆圆的标准方程和一般方程，圆的标 方程呢就是上面这个，从圆的标准方程里边可以看到圆心坐标和半径，那圆的一般方程里边呢，我们说如果是个这个 r 他大于零，就是如果可以 d 方加一方减 c f 大于零了，那么这个半径呢，就是二分之根号它，然后 呃圆心坐标呢就是 for r 分之 d 负二分之 e， 这个呢上边我提醒大家，就是上边这个公式呢，我们要记得很熟。下边这个公式呢，我们只要学会完全平方，不需要背这个公式啊 就可以。就是如果出遇到题目了，我们完全可以把这个二简单的二元次方程配 成一个把的配把的配方配成一个标律方程，从标律方程里边得到圆心坐标和半径。 这节课呢我们就上到这里，同学们再见。